矩阵的初等变换

in 编程
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原文地址 : https://www.jianshu.com/p/51bc27890e13

对于如下矩阵:

矩阵

我们可以对它做这么几种操作:

  1.  

     

    交换任意两行:比如交换前两行得到

    交换前两行

  2.  

     

    用非0常数乘某一行全部元素:比如第三行乘以2得

    末行乘2

  3.  

     

    某一行加上另一行的k倍:我们使用上面2倍的结果,将其加到第一行得

    第一行加第三行

以上三种操作统称矩阵的“初等行变换”:

  1.  

     

    对调两行(第i行和第j行),记作

     

    2.以非零常数 k 乘某一行(第i行)的所有元素,记作

    3.某一行加上另一行的 k 倍,记作

逆变换如下:

继续对调这两行

这一行的元素除回去

这一行减去那一行的k倍

 

如果这些操作针对的对象是矩阵的列,就称为“初等列变换”。
进行了有限次初等变换的矩阵,和原来的矩阵等价。如果指进行了行变换,则称为“行等价”;只进行了列变换,称为“列等价”。
由单位矩阵 E 经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵

左行右列”定则

对一个一般矩阵执行一次初等变换,等价于用一个被执行过同样初等变换的初等矩阵同这个矩阵相乘。

设A是一个 m×n 矩阵,

比如对调变换,我们来看一下:
对调两行相当于用初等矩阵去乘原矩阵;对调两列相当于用原矩阵去乘初等矩阵

 

原矩阵

初等矩阵:交换23两行

也是交换23两行,不过这里看成交换两列

 

对调行

 

对调列

 

对于其他初等变换,同样遵循左行右列定则。可以自行验证。

“逆矩阵”的求法

对n×2n阶矩阵(A|E)实施初等变换,当把A变成E时,E变成A的逆矩阵:

逆矩阵求法

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